cos φ a tg φ

01 Ten sam kąt, dwa ilorazy

Przy przebiegach sinusoidalnych zachodzi P = U·I·cos φ, Q = U·I·sin φ oraz S = U·I (U, I — wartości skuteczne, φ — kąt przesunięcia fazowego napięcia i prądu), a trzy moce układają się w trójkąt prostokątny: S = √(P² + Q²). Opisuje go strona o mocy czynnej, biernej i pozornej.

Z tego trójkąta biorą się oba wskaźniki. Iloraz cos φ = P/S mówi, jaka część mocy pozornej wykonuje pracę; iloraz tg φ = Q/P mówi, ile var przypada na jeden wat. Kąt ten sam, dzielnik inny.

Tangens fi jest ilorazem mocy biernej i mocy czynnej.

tg φ = Q / P

Różnica jest praktyczna. Cosinus mieści się między 0 a 1 i przy jedności zmienia się leniwie: pogorszeniu z 0,98 do 0,93 odpowiada wzrost mocy biernej na jeden wat z 0,203 do 0,395 var, czyli prawie dwukrotny (obliczenie własne). Tangens górnej granicy nie ma i rośnie proporcjonalnie do mocy biernej. Równość „współczynnik mocy = cos φ” obowiązuje przy tym tylko przy czystej sinusoidzie.

02 Dlaczego taryfa mówi tangensem

Definicja rozliczeniowa brzmi (taryfa Energa-Operator na 2026 r., pkt 4.3.5): „Wartość współczynnika mocy tgφ określa się, jako iloraz energii biernej pobranej (…) i energii czynnej pobranej” — całodobowo albo w strefach objętych kontrolą. Podstawą jest § 47 ust. 5 rozporządzenia taryfowego.

Za tangensem stoją trzy powody:

• Dane są już w liczniku. Iloraz dwóch rejestrów nie wymaga mocy pozornej ani wartości chwilowych.
• Liniowość względem energii biernej. Przykład własny: przy 100 000 kWh i 40 000 kvarh wychodzi tg φ = 0,400 (cos φ = 0,9285), a przy 80 000 kvarh — tg φ = 0,800, czyli dwa razy tyle; cos φ zmienia się przy tym z 0,9285 na 0,7809 i podwojenia po nim nie widać.
• Próg zapisuje się jednym mnożeniem. Warunek tg φ ≤ tg φ₀ znaczy, że energia bierna nie przekracza iloczynu tg φ₀ i energii czynnej — przy 0,4 i 100 000 kWh limit to 40 000 kvarh.

tg φ₀ = 0,4

Do wzoru opłaty tangens nie wchodzi liniowo: rozporządzenie i pięć taryf na 2026 r. mają postać z pierwiastkiem, z czynnikiem √[(1 + tg²φ) / (1 + tg²φ₀)] − 1 — rozbiera ją strona o opłacie za energię bierną.

03 Tabela przeliczeń cos φ na tg φ

Tangens kąta fi obliczony z cosinusa tego samego kąta.

tg φ = √(1 / cos²φ − 1)

Wartości poniżej to obliczenie własne z tego wzoru, zaokrąglone do trzech miejsc; progowi taryfowemu odpowiada wiersz 0,9285, a dolnej granicy tg φ₀ = 0,2 — cos φ = 0,9806, tuż nad wierszem 0,980.

Próg zdefiniowano po stronie tangensa, więc w cosinusie wypada niekrągło: 0,9285. Zaokrąglenie w górę, do 0,93, daje 0,395 — wynik pozornie mieszczący się w progu; w dół, do 0,928, daje 0,401 — pozornie próg przekraczający. Dwie tysięczne cosinusa — 0,928 wobec 0,930 — przenoszą odczyt na drugą stronę granicy. Dlatego próg sprawdza się tangensem.

04 Miernik pokazuje co innego niż faktura

Chwilowy cos φ z cęgów opisuje stan instalacji w sekundzie pomiaru, a tg φ z faktury jest ilorazem energii z okresu albo ze strefy — formalnie średnią chwilowych tangensów ważoną energią czynną, a nie średnią w czasie ani cosinusem średniego kąta.

Rozliczeniowy tangens fi jest średnią chwilowych tangensów ważoną energią czynną.

tg φ = Σ (P_i · Δt · tg φ_i) / Σ (P_i · Δt)

Przykład rachunkowy: zakład pracuje 8 h przy P = 100 kW i Q = 60 kvar, a przez pozostałe 16 h doby — na 10 kW i 2 kvar. Daje to 8 × 100 + 16 × 10 = 960 kWh energii czynnej i 8 × 60 + 16 × 2 = 512 kvarh biernej, czyli tg φ = 512/960 = 0,533 — powyżej progu, mimo że przez dwie trzecie doby miernik pokazywał cos φ = 0,981. Nadwyżka: 512 − 0,4 × 960 = 128 kvarh.

Widać tu też, dlaczego uśrednianie „na oko” zawodzi: średnia arytmetyczna tangensów to (0,600 + 0,200)/2 = 0,400, czyli dokładnie próg, a cosinus średniego kąta (30,96° i 11,31°, średnio 21,14°) wynosi 0,933 — obie skrótowe metody wskazują brak opłaty.

Bywa też odwrotnie: przy 8 h ze 100 kW i 20 kvar oraz 16 h z 10 kW i 8 kvar wychodzi 288 kvarh, czyli tg φ = 0,300 i brak opłaty mimo nocnego cos φ = 0,781. Cztery różnice, przez które odczyt miernika nie przekłada się na fakturę:

• odczyt jest chwilowy, a rozliczenie całkowe — za okres albo strefę;
• miernik zwykle obejmuje jedną fazę, licznik sumuje trzy;
• przyrząd pokazuje zwykle prawdziwy współczynnik mocy, licznik — bierną składowej podstawowej;
• znak i kwadrant zależą od konwencji przyrządu, a bierna indukcyjna i pojemnościowa idą osobno.

Listę tę rozwija strona o pomiarze współczynnika mocy, a ilustrację profilu dobowego — strona o tg φ na fakturze. Uśrednianie nie zawsze chroni: gdy „występują szybkozmienne obciążenia mocą bierną”, taryfy przechodzą na bezpośredni pomiar nadwyżki i krótkie przekroczenia są rozliczane mimo dobrego wyniku za miesiąc (taryfa Energa-Operator na 2026 r., pkt 4.3.7).

05 Znak tangensa, czyli strona pojemnościowa

Moc bierna odbiornika indukcyjnego jest dodatnia, a pojemnościowego ujemna, więc formalnie iloraz Q/P może wyjść ujemny. Na fakturze taka liczba nie występuje.

Licznik nie wyznacza jednego, wypadkowego tangensa — prowadzi osobne rejestry biernej indukcyjnej i pojemnościowej pobranej przy poborze czynnej. Pierwszy trafia do wzoru z progiem tg φ₀; dla drugiego punktem odniesienia jest tg φ = 0, więc płatna jest każda kvarh od pierwszej, bez tolerancji (Dz.U. 2022 poz. 2505, § 47 ust. 3 pkt 2, i taryfy pięciu największych operatorów na 2026 r.). Instalacja per saldo indukcyjna w skali miesiąca i tak zapłaci za godziny pojemnościowe, bo rejestry kwadrantowe nie znoszą się — rozwija to strona o mocy biernej indukcyjnej i pojemnościowej.

06 Gdzie oba wskaźniki przestają opisywać to samo

Symbol λ oznacza współczynnik mocy (PF), a cos φ₁ — współczynnik przesunięcia (DPF), liczony z kąta między podstawowymi harmonicznymi prądu i napięcia. To dwie różne wielkości. Przy sinusoidalnym napięciu i bez składowej stałej prądu wiąże je PF = (I₁ / I_s) · DPF (I₁ — wartość skuteczna podstawowej harmonicznej prądu, I_s — całkowita), praktycznie PF = cos φ₁ / √(1 + THD_i²), z THD prądu liczonym względem składowej podstawowej i podstawianym jako ułamek.

Przy odbiornikach nieliniowych obie liczby rozchodzą się całkowicie: typowy zasilacz impulsowy bez układu korekcji ma prąd praktycznie w fazie z napięciem, a mimo to PF około 0,6; producent zapisuje wprost, że definicja „cosinus kąta fazowego” dałaby tu błędny wniosek o PF równym 1,0. Licznik rozliczeniowy mierzy natomiast energię bierną składowej podstawowej (norma wyrobu IEC 62053-24:2020), więc tangens z faktury jest tangensem kąta przesunięcia podstawowych harmonicznych, a nie miarą odkształcenia.

07 Czego żadna z tych liczb nie mówi

Próg tg φ₀ = 0,4 nie wynika z fizyki ani z normy technicznej. PN-EN 50160:2023-10 opisuje wyłącznie parametry napięcia dostarczanego przez operatora i nie zawiera limitu prądu, cos φ ani tg φ — zdania „norma wymaga cos φ nie mniej niż 0,93” nie da się z niej wyprowadzić. To wartość taryfowa i umowna.

Sam cos φ nie mówi, w którą stronę przesunięty jest prąd: ta sama wartość 0,90 odpowiada obciążeniu indukcyjnemu i pojemnościowemu, a rozstrzyga znak mocy biernej. Nie mówi również, ile to kosztuje — potrzebne są jeszcze krotność k, cena Crk i energia czynna z okresu, czyli rachunek opłaty albo obliczenia współczynnika mocy. Zapis „tg fi” z pozycji fakturowej („rozliczenie energii biernej wg tg fi” u TAURON-a) oznacza tę samą wielkość co tg φ, a „kVArh” to wariant spotykany w poradniku NIK i w dokumentacji branżowej — nie druga jednostka obok poprawnej „kvarh”.

Źródła

1. Rozporządzenie Ministra Klimatu i Środowiska z 29 listopada 2022 r. w sprawie sposobu kształtowania i kalkulacji taryf oraz sposobu rozliczeń w obrocie energią elektryczną (Dz.U. 2022 poz. 2505), § 47.
2. Taryfa Energa-Operator S.A. dla usług dystrybucji energii elektrycznej, obowiązująca od 1 stycznia 2026 r., pkt 4.3.3–4.3.7.
3. PN-EN 50160:2023-10 Parametry napięcia zasilającego w publicznych sieciach elektroenergetycznych, wraz z A1:2025-04.
4. IEC 62053-24:2020 (wyd. 2.0) Electricity metering equipment — Static meters for fundamental component reactive energy (classes 0,5S, 1S, 1, 2 and 3).
5. ABB, Technical Guide No. 6 — Guide to Harmonics with AC Drives, rozdz. 10 „Definitions”, s. 29 (dostęp 2026).
6. ON Semiconductor, Power Factor Correction (PFC) Handbook, HBD853/D, s. 7–8 (dostęp 2026).
7. Chauvin Arnoux Energy, The Guide — Power Factor Correction, ref. 906211239, wyd. 1 (2011), s. 19–20.
8. J. R. Lucas, Power Systems — Review of Basic Concepts, University of Moratuwa, rozdz. 2.1.1–2.1.3 (dostęp 2026).